تجزیه عدد به روش نمودار درختی با حل کلی مثال

بازدیدها 10362

خواندن این مطلب در7 دقیقه

تجزیه عدد به روش نمودار درختی با حل کلی مثال | آموزش تجزیه درختی اعداد به عامل های اول یا شمارنده های اول(حاصل تجزیه عدد، شمارنده های اول آن عدد است)

فهرست محتوا

تجزیه عدد به روش نمودار درختی
روش کار در تجزیه درختی
- مثال 1
- مثال 2
انتخاب اعداد برای تجزیه عدد
مثال های بیشتر برای تجزیه عدد به روش نمودار درختی

تجزیه عدد به روش نمودار درختی

در این روش با استفاده از نمودار درختی، عدد را در هر مرحله به صورت حاصلضرب دو عدد طبیعی مخالف 1 نوشته و تا رسیدن به اعداد اول ادامه می دهیم.

روش کار در تجزیه درختی

اول از همه عدد را به صورت حاصل ضرب دو عامل آن عدد می نویسیم یعنی دو عددی که ضربشان، با عدد داده شده مساوی باشد(عدد ها باید بزرگتر از عدد 1 باشند)
بعد از اینکه دو عامل عدد را نوشتیم، بررسی می کنیم که عدد های بدست آمده عدد اول هستند یا عدد مرکب؛ دو حالت ممکن وجود دارد
1- عدد جدید، عدد اول است
2- عدد جدید، عدد مرکب است
اگر عدد اول باشد دور آن دایره می کشیم و دیگر با آن عدد کاری نداریم،
اگر عدد مرکب باشد آن را به صورت حاصل ضرب دو عدد می نویسیم(حاصلضرب عامل ها)
و این کار را همین طور ادامه می دهیم تا در نهایت به اعداد اول برسیم.

در شکل زیر ظاهر نمودار درختی برای تجزیه عدد را می توانید مشاهده کنید؛ در هر مرحله برای هر دو عدد جدیدی که بدست می آید باید عدد اول بودن یا نبودن آن ها را بررسی کنیم(این شکل تنها برای درک مفهوم تجزیه به روش درختی رسم شده، و این را همیشه به یاد داشته باشید که اگر عدد اول باشد آن شاخه ادامه پیدا نمی کند)

مثال 1

عدد 980 را به روش درختی تجزیه کنید
جواب: با توجه به توضیحات “روش کار در تجزیه درختی” مراحل را توضیح خواهیم داد
دو عددی که ضربشان در هم برابر با 980 باشد را انتخاب می کنیم؛ این کاملاً دلخواه هست، شما آزاد هستید بین اعدادی که ضرب آن ها در هم مساوی با عدد 980 می شود و این اعداد مخالف عدد 1 هستند انتخاب کنید

ما دو عدد 98 و 10 را انتخاب کردیم که ضرب آن ها در هم مساوی با عدد 980 می شود(شما می توانید عددهای دیگری انتخاب کنید)

98 عدد مرکب است پس دو عددی که ضربشان در هم برابر با 98 باشد را انتخاب می کنیم(باید اعداد بزرگتر از 1 باشند)

10 عدد مرکب است دو عددی که ضربشان در هم برابر با 10 باشد را انتخاب می کنیم(باید اعداد بزرگتر از 1 باشند)

بین اعداد 2، 49 و 5 بدست آمده، اعداد 2 و 5 اعداد اول هستند پس دیگر امکان اینکه این اعداد را به صورت حاصلضرب دو عدد مخالف 1 بنویسیم وجود ندارد و همان طور که در توضیحات تجزیه به روش درختی گفته شده، با رسیدن به عدد اول دور آن خط می کشیم و دیگر با آن کاری نداریم

ولی عدد 49 مرکب است پس باید آن را به صورت حاصل ضرب دو عدد که مساوی با 49 شود بنویسیم (عددها باید مخالف 1 باشند)

دو عددی که ضربشان در هم برابر با 49 باشد را انتخاب می کنیم(باید اعداد بزرگتر از 1 باشند)

عدد 7 بدست آمده است که عددی اول است و چون عدد مرکبی وجود ندارد بنابراین کار تجزیه عدد 980 تمام شد

تجزیه عدد 980 مساوی می شود با ضرب اعداد اولی که در تمامی مراحل تجزیه درختی بدست آمده و دور آن ها خط کشیده بودیم یعنی

دلیل خط کشیدن دور اعداد اول هم همین بوده تا اعداد اول را علامت زده باشیم تا در انتها با پایان کار تجزیه درختی بتوانیم این اعداد را به صورت حاصلضرب اعداد اول، عدد 980 بنویسیم

به حاصل ضرب اعداد اول بدست آمده از تجزیه عدد 980، حاصلضرب عامل های اول یا همچنین به آن حاصلضرب شمارنده های اول عدد 980 نیز می گویند.

مثال 2

عدد 204 را به روش درختی تجزیه کنید

جواب: مراحل را قدم به قدم توضیح می دهیم

عدد 204 مرکب است پس دو عددی که ضربشان درهم برابر با 204 باشد را انتخاب می کنیم(باید اعداد بزرگتر از 1 باشند)

دو عدد جدید 2 و 102 بدست آمده، عدد 2 عدد اول است پس دور آن دایره می کشیم ولی عدد 102 عدد مرکب است پس باید آن را به صورت ضرب دو عامل آن بنویسیم

عدد 102 مرکب است پس دو عددی که ضربشان درهم برابر با 102 باشد را انتخاب می کنیم(باید اعداد بزرگتر از 1 باشند)

دو عدد جدید 2 و 51 بدست آمده، عدد 2 عدد اول است پس دور آن دایره می کشیم ولی عدد 51 عدد مرکب است پس باید آن را به صورت ضرب دو عامل آن بنویسیم

عدد 51 مرکب است پس دو عددی که ضربشان درهم برابر با 51 باشد را انتخاب می کنیم(باید اعداد بزرگتر از 1 باشند)

دو عدد جدید 3 و 17 بدست آمده، عدد 3 عدد اول است پس دور آن دایره می کشیم همین طور عدد 17 نیز عدد اول است پس دور آن هم دایره می کشیم

همان طور که می بینید عدد مرکبی باقی نماند بنابراین کار تجزیه عدد 204 پایان یافت

تجزیه عدد 204 مساوی با حاصل ضرب تمام اعداد اولی است که دور آن ها دایره کشیده بودیم

انتخاب اعداد برای تجزیه عدد

در کل راه خاصی برای حدس زدن اعداد وجود ندارد و معمولاً می گوییم که اولین دو عدد مخالف 1 که به ذهنتان رسید را بنویسید

اگر بتوانید حدس بزنید که حاصل ضرب کدام دو عدد مساوی با عددی است که باید تجزیه کنید کار شما راحت خواهد بود

ولی اگر امکان حدس زدن وجود نداشته باشد تنها راه این است که بخش پذیری عدد را بر اعداد اول(2، 3، 5، 7، 11، 13 ، … ) بررسی کنید.

هر عدد مرکب بر اولین عدد اولی که قابل تقسیم باشد آن را در نظر گرفته و حاصلضرب دو عدد را طبق آن می نویسیم(حاصل تقسیم باید عدد طبیعی باشد)

مثلاً عدد 147 بر 2 بخشپذیر نیست(چون یکان آن عدد زوج نیست) ولی بر 3 بخشپذیر است(چون مجموع ارقام آن مضرب 3 است) پس عدد 147 را بر 3 تقسیم می کنیم

حاصل 49 است بنابراین عدد 147 را می توان به صورت ضرب 3 و 49 نوشت

تجزیه درختی عدد 147 به صورت زیر است

مثال 3

عدد 3773 را به روش درختی تجزیه کنید

جواب: به راحتی نمی توانیم حدس بزنیم حاصلضرب کدام دو عدد مساوی عدد 3773 هست پس مجبوریم بخشپذیری عدد 3773 را برای یافتن عدد اولی که عامل آن است، بر اعداد اول بررسی کنیم

عدد 3773 بر 2 بخش پذیر نیست(چون یکان آن عدد زوج نیست)

عدد 3773 بر 3 بخش پذیر نیست(چون مجموع ارقام آن مضرب 3 نیست)

عدد 3773 بر 5 بخش پذیر نیست(چون یکان عدد 0 و 5 نیست)

بررسی می کنیم آیا عدد 3773 بر 7 بخش پذیر است یا نه؟ این هم یک راه برای فهمیدن بخشپذیری دارد ولی به راحتی قبلی ها نیست

یکان عدد را برداشته(عدد 3) و دو برابر می کنیم(میشه 6) و حاصل را منهای باقی ارقام این عدد خواهیم کرد(باقی ارقام 377 است)

عدد 371 هم معلوم نیست که بر 7 بخش پذیر است یا نه؟ پس دوباره عمل بالا را تکرار می کنیم

این بار یکان عدد 371 را برداشته(عدد 1) و دو برابر کرده(میشه 2) و منهای باقی ارقام می کنیم(باقی ارقام 37 است)

عدد 35 بر 7 بخشپذیر است پس نتیجه می گیریم که عدد 3773 نیز بر 7 بخش پذیر است حالا که می دانیم عدد 3773 بر 7 بخش پذیر است باید عدد 3773 را بر 7 تقسیم کنیم

پس عدد 3773 را می توان به صورت حاصلضرب 7 و 539 نوشت

عدد 7 عدد اول است پس دور آن دایره می کشیم

عدد 539 عدد مرکب است پس باید آن را به صورت حاصلضرب دو عدد مخالف 1 بنویسیم

برای عدد 539 هم امکان حدس زدن اینکه حاصلضرب کدام دو عدد مساوی با آن است وجود ندارد پس مجبوریم بخش پذیری عدد 539 را بر اعداد اول بررسی کنیم

عدد 539 بر 2 بخش پذیر نیست(چون یکان آن عدد زوج نیست)

عدد 539 بر 3 بخش پذیر نیست(چون مجموع ارقام آن مضرب 3 نیست)

عدد 539 بر 5 بخش پذیر نیست(چون یکان عدد 0 و 5 نیست)

بررسی می کنیم آیا عدد 539 بر 7 بخش پذیر است یا نه؟

یکان عدد 539 را برداشته(عدد 9) و دو برابر می کنیم(میشه 18) و حاصل را منهای باقی ارقام این عدد خواهیم کرد(باقی ارقام 53 است)

عدد 35 بر 7 بخشپذیر است پس نتیجه می گیریم که عدد 539 نیز بر 7 بخش پذیر است حالا که می دانیم عدد 539 بر 7 بخش پذیر است باید عدد 539 را بر 7 تقسیم کنیم

پس عدد 539 را می توان به صورت حاصلضرب 7 و 77 نوشت

عدد 7 عدد اول است پس دور آن دایره می کشیم

عدد 77 عدد مرکب است پس باید آن را به صورت حاصلضرب دو عدد مخالف 1 بنویسیم

عدد 77 مشخص است که مضرب 7 است(امکان حدس زدن وجود داشت) پس می توانیم آن را به صورت حاصلضرب 7 و 11 نوشت

عدد 7 عدد اول است پس دور آن دایره می کشیم

عدد 11 عدد اول است پس دور آن دایره می کشیم

چون عدد مرکبی باقی نمانده، بنابراین کار تجزیه عدد 3773 پایان یافت

تجزیه عدد 3773 می شود

توجه داشته باشید که لازم نیست مراحل بررسی بخش پذیری را در پاسخ به مثال بنویسید و می توانید به صورت ذهنی و یا در چک نویس آن را انجام دهید

البته اگر اجازه استفاده از ماشین حساب را در جلسه امتحان داشته باشید آن وقت تنها کافی است عدد را بر اعداد اول(2، 3، 5، 7، 11، 13 ، … ) تقسیم کنید حاصل تقسیمی که اعشاری نباشد و عدد طبیعی شود، نشان دهنده بخشپذیری عدد بر آن عدد اول است.

در کل روش بررسی بخش پذیری اعداد(قواعد بخش پذیری)، روش پر کاربردی است که بهتر است حتماً آن را یاد بگیرید

نکته 1

این که چه اعدادی را به عنوان عامل یک عدد انتخاب کنید در حاصل تجزیه عدد به روش درختی، تغییری ایجاد نمی کند بلکه تنها ظاهر نمودارهای درختی تغییر می کند.

تجزیه به روش نمودار درختی عددهای 36 و 210 را برای تمامی دو عامل های که حاصل ضرب آن ها مساوی با این اعداد هست رسم می کنیم تا مشاهده کنید هیچ تفاوتی در حاصل تجزیه این عددها وجود ندارد

ابتدا همه دو عامل های که حاصل ضرب آن ها مساوی با این اعداد هست را می نویسیم و بعد برای هر کدام نمودار درختی آن ها را رسم می کنیم

عامل های عدد 36

دو عامل های که حاصل ضرب آن ها مساوی با عدد 36 است(عامل ها باید بزرگتر از عدد 1 باشند)

نمودارهای درختی عدد 36

تمام اعداد درهم ضرب شده اند بنابراین ترتیب عددها تاثیری در حاصل ندارد؛ برای مقایسه جواب ها، عددها را از کوچک به بزرگ مرتب کردیم؛ می بینیم که همه تجزیه های بدست آمده از نمودارهای درختی عدد 36 یکی هستند

عامل های عدد 210

دو عامل های که حاصل ضرب آن ها مساوی با عدد 210 می شود(عامل ها باید بزرگتر از عدد 1 باشند)

نمودارهای درختی عدد 210

نکته 2

به یاد داشته باشید که نتیجه تجزیه عدد، شمارنده های اول آن عدد است و همچنین حاصل تجزیه عدد، عامل های اول آن عدد نیز می باشند، پس اگر از شما خواستن یک عدد را به شمارنده های اول تجزیه کنید یا به عامل های اول تجزیه کنید یا آن را به صورت حاصلضرب اعداد اول بنویسید در تمامی این موارد باید عدد را تجزیه کنید.