عامل های اعداد و تجزیه عدد به عوامل اول آن | عامل های یک عدد، عدد های هستند که بر آن عدد بخش پذیرند | عامل های اعداد 1 تا 100
فهرست محتوا
عامل های یک عدد
عامل های یک عدد، اعدادی هستند که بر آن عدد بخش پذیرند؛ یعنی حاصل تقسیم عدد بر عامل آن عدد، عددی صحیح مثبت است که باقیمانده تقسیم آن ها صفر می شود.
مثال 1 (عامل های عدد)
عامل های اعداد 6، 13، 27، 33 و 45 را بنویسید
جواب:
عامل های عدد 6 عددهای هستند که 6 بر آن بخش پذیر است؛ عدد 6 بر 1 و 2 و 3 و 6 بخش پذیر است بنابراین 1 و 2 و 3 و 6 عامل های عدد 6 هستند(6 عددی مرکب است)
عامل های عدد 13 عددهای هستند که 13 بر آن بخش پذیر است؛ عدد 13 بر 1 و 13 بخش پذیر است بنابراین 1 و 13عامل های عدد 13 هستند(13 عددی اول است)
عامل های عدد 27 عددهای هستند که 27 بر آن بخش پذیر است؛ عدد 27 بر 1 و 3 و 9 و 27 بخش پذیر است بنابراین 1 و 3 و 9 و 27 عامل های عدد 27 هستند(27 عددی مرکب است)
عامل های عدد 33 عددهای هستند که 33 بر آن بخش پذیر است؛ عدد 33 بر 1 و 3 و 11 و 33 بخش پذیر است بنابراین 1 و 3 و 11 و 33 عامل های عدد 33 هستند(33 عددی مرکب است)
عامل های عدد 45 عددهای هستند که 45 بر آن بخش پذیر است؛ عدد 45 بر 1 و 3 و 5 و 9 و 15 و 45 بخش پذیر است بنابراین 1 و 3 و 5 و 9 و 15 و 45 عامل های عدد 45 هستند(45 عددی مرکب است)
نکته 1
عامل های یک عدد، عددهای هستند که با ضرب شدن در یکدیگر، آن عدد را می سازند
نکته 2
عامل های اول یک عدد، عددهای اولی هستند که با ضرب شدن در یکدیگر، آن عدد را می سازند
مثال 2 (عامل های عدد)
عامل های اعداد زیر را با توجه به نکته 1 بنویسید
18، 30، 36، 42، 91
جواب: در نکته 1 گفته شده عامل های یک عدد، عددهای هستند که با ضرب شدن در یکدیگر، آن عدد را می سازند(یعنی حاصل ضرب عددها، مساوی با آن عدد است) با توجه به این نکته می خواهیم عامل های اعداد داده شده را بدست آوریم
عامل های عدد 18 اعدادی هستند که حاصلضرب آن ها مساوی 18 است
در نتیجه عامل های عدد 18 اعداد زیر هستند
عامل های عدد 30 اعدادی هستند که حاصلضرب آن ها مساوی 30 است
در نتیجه عامل های عدد 30 اعداد زیر هستند
عامل های عدد 36 اعدادی هستند که حاصلضرب آن ها مساوی 36 است
در نتیجه عامل های عدد 36 اعداد زیر هستند
عامل های عدد 42 اعدادی هستند که حاصلضرب آن ها مساوی 42 است
در نتیجه عامل های عدد 42 اعداد زیر هستند
عامل های عدد 91 اعدادی هستند که حاصلضرب آن ها مساوی 91 است
در نتیجه عامل های عدد 91 اعداد زیر هستند
آیا می توان با توجه به نکته 2 عامل های اول یک عدد را نوشت؟!
(نکته 2: عامل های اول یک عدد، عددهای اولی هستند که با ضرب شدن در یکدیگر، آن عدد را می سازند)
عدد 18 را در نظر می گیریم
عامل های اول عدد 18 اعداد اولی هستند که حاصلضرب آن ها مساوی 18 است
قبلاً عامل های عدد 18 را بدست آوردیم که اعداد 1،2،3،6،9،18 هستند همان طور که مشاهده می شود دو عدد 2 و 3 عدد اول هستند
این اعداد را در هم ضرب می کنیم
می بینیم که حاصل ضرب عدد 6 است که مساوی با 18 نیست!
پس از نتایج ظاهراً این بدست می آید که اعداد 2 و 3 عامل های اول عدد 18 نیستند!(نشان خواهیم داد که این نتیجه اشتباه است)
سوال: می دانید چرا فقط اعداد اول 2 و 3 را در هم ضرب کردیم و سایر اعداد اول را برای بدست آوردن عدد 18 در هم ضرب نمی کنیم؟!
در ادامه عدد 30 را هم بررسی می کنیم و بعد در مورد این موضوع توضیح خواهیم داد
عامل های اول عدد 30 اعداد اولی هستند که حاصل ضرب آن ها مساوی 30 باشد
عامل های عدد 30 اعداد 1،2،3،5،6،10،15،30 هستند همان طور که مشخص است سه عدد 2 و 3 و 5 عدد اول هستند
حاصلضرب های اعداد 2 و 3 و 5 را می نویسیم
از نتایج ظاهراً این بدست آمده که اعداد 2 و 3 و 5 عامل های اول عدد 30 نیستند!(در ادامه نشان خواهیم داد که این نتیجه اشتباه است)
آیا این موضوع نشان دهنده این است که اعداد 18 و 30 عامل های اول ندارند؟!
بر می گردیم به تعریفی که در ابتدا نوشتیم اینکه، عامل های یک عدد، اعدادی هستند که بر آن عدد بخش پذیرند
طبق این تعریف دو عدد 2 و 3 عامل های عدد 18 هستند و از طرفی اعداد 2 و 3 عدد اول هم می باشند پس چرا عامل اول نشدند؟! شاید بگویید که حاصلضرب هر دو عامل عددی، لزوماً مساوی با آن عدد نیست؛ که البته مطلب درستی است مثلاً عددهای 6 و 9 عامل های عدد 18 هستند ولی ضربشان 54 می شود که مخالف 18 است
آیا این نتیجه نشان می دهد که نکته 1 و 2 اشتباه بودند؟!
دوباره نکته 1 و 2 را می خوانیم:
“عامل های یک عدد، عددهای هستند که با ضرب شدن در یکدیگر، آن عدد را می سازند”
“عامل های اول یک عدد، عددهای اولی هستند که با ضرب شدن در یکدیگر، آن عدد را می سازند”
چه چیزی گفته شده؟!
دقت کنید، در این نکته ها گفته شده “عددهای در هم ضرب شده” ولی نگفته چندتا عدد! یعنی معلوم نیست که ما باید دوتا عدد را در هم ضرب کنیم یا سه تا عدد را در هم ضرب کنیم یا چهار تا یا بیشتر؛ اصلاً در مورد تعداد اعدادی که در یکدیگر ضرب می شوند چیزی نگفته.
همچنین در این نکته ها، در مورد تمام عامل های یک عدد چیزی گفته نشده بلکه می گوید که اگر اعدادی حاصلضربشان مساوی با عددی شد آن اعداد، عامل های آن عدد خواهند بود.
عدد 30 را دوباره بررسی می کنیم، قبلاً دیدیم که حاصلضرب هر دو عددی از عدد های اول 2 و 3 و 5 عدد 30 را نمی سازد پس این بار حاصلضرب سه عدد را در نظر می گیریم
می بینیم که حاصل ضرب مساوی با 30 می شود بنابراین اعداد 2 و 3 و 5 عامل های اول عدد 30 هستند
حالا مجدداً عدد 18 را بررسی می کنیم، دیدیم که حاصلضرب دو عدد اول 2 و 3 عدد 18 را نمی سازد پس این دفعه قطعاً ما باید حاصلضرب سه تا عدد را بررسی کنیم! ولی ما سه تا عدد اول که عامل عدد 18 باشد نداریم!
چکار باید بکنیم؟!
یعنی کاری نمیشه کرد!؟
توجه کنید؛ با این که گفته شده حاصلضرب عددها باید عدد را بسازد، ولی تاکید نشده که حتماً باید اعداد بدون تکرار باشند پس ما می توانیم اعداد را به هر تعداد که لازم است تکرار کنیم تا به عدد برسیم
6 ضربدر چه عددی می شود 18 ؟
پس نتیجه گرفتیم
بنابراین عدد های اول 2 و 3 عامل های اول عدد 18 هستند
مثال 3: عامل های اول عدد 100 را بنویسید
جواب: ابتدا 100 را به صورت حاصلضرب اعداد می نویسیم و بعد هر عدد تازه را نیز به صورت حاصل ضربی که آن عدد را بسازد می نویسیم تا جای که تنها اعداد اول باقی بماند
پس عامل های اول عدد 100 عدد های اول 2 و 5 هستند.
به این کاری که در مثال 3 انجام دادیم تجزیه یک عدد می گویند.
تجزیه یک عدد
تجزیه یک عدد به عامل های آن یعنی یک عدد را به صورت حاصل ضرب عامل های آن عدد بنویسیم.
تجزیه یک عدد به عامل های اول آن یعنی اینکه عدد را به صورت حاصل ضرب عامل های اول آن عدد بنویسیم.
مثال 1 (تجزیه عدد)
اعداد 45، 147، 256 و 560 را به عوامل آن تجزیه کنید
جواب: در تجزیه اعداد باید هر عدد به شکل حاصل ضرب عامل های آن عدد نوشته شود
عامل های عدد 45 اعداد 1، 3، 5، 9، 15 و 45 هستند
تجزیه عدد 45 به عامل های آن می تواند هر کدام از حاصل ضرب های زیر باشد
(دو عددی که ضرب آن ها 45 می شود)
تجزیه به عامل ها
تجزیه به عامل های اول
عامل های عدد 147 اعداد 1، 3، 7، 21، 49 و 147 هستند
تجزیه عدد 147 به عامل های آن می تواند هر کدام از حاصلضرب های زیر باشد
(دو عددی که ضرب آن ها 147 می شود)
تجزیه به عامل ها
تجزیه به عامل های اول
عامل های عدد 256 اعداد 1، 2، 4، 8، 16، 32، 64، 128 و 256 هستند
تجزیه عدد 256 به عامل های آن می تواند هر کدام از حاصلضرب های زیر باشد
(دو عددی که ضرب آن ها 256 می شود)
تجزیه به عامل ها
تجزیه به عامل های اول
عامل های عدد 560 اعداد 1، 2، 4، 5، 7، 8، 10، 14، 16، 20، 28، 35، 40، 56، 70، 80، 112، 140، 280 و 560 هستند
تجزیه عدد 560 به عامل های آن می تواند هر کدام از حاصلضرب های زیر باشد
(دو عددی که ضرب آن ها 560 می شود)
تجزیه به عامل ها
تجزیه به عامل های اول
برای این که مشخص باشد کدام عدد را تجزیه کردیم عامل های آن عدد را در پرانتز گذاشتیم(در کل نیازی به بودن این پرانتزها نیست) و در آخر کار این پرانتزها را برداشتیم چون تمام اعداد در هم ضرب شده اند و هیچ اولویتی در اینکه کدام دو عدد را اول در هم ضرب کنیم وجود ندارد.
توجه کنید در مثال بالا دیدید که ما هم “تجزیه به عامل ها” و هم “تجزیه به عامل های اول” را نوشتیم این عمل را تنها برای توضیح و روشن شدن مفهوم عامل ها نوشتیم و در کل تجزیه یک عدد، به معنی این است که اجزای سازنده آن عدد، که اعداد اول هستند را بنویسیم.
نکته مهم: وقتی گفته می شود یک عدد را تجزیه کنید همیشه منظور این است که آن عدد را به صورت عامل های اول آن بنویسید.
به حاصل تجزیه عدد 560 نگاه کنید با این که عامل های انتخابی متفاوت بودن ولی در پایان تجزیه، اعداد اول ضرب شده یکسان هستند
چهار بار عدد 2، یکبار عدد 5 و یکبار هم عدد 7 در هم ضرب شده اند و به ما عدد 560 را داده اند پس عدد 560 دارای سه تا عامل اول است(عامل های اول 560 اعداد اول 2، 5، 7 هستند)
نتیجه (تجزیه عدد)
از مثال بالا می توان نتایج جالبی بدست آورد
اول اینکه تفاوتی ندارد که ما کدام دو عدد را به عنوان عامل های آن عدد، برای تجزیه انتخاب و در هم ضرب کنیم چون در آخر، نتیجه همیشه یکسان است.
دوم اینکه در آخر کار، وقتی دیگر عددی قابل تجزیه وجود نداشته باشد(یعنی نتوان آن عدد را به صورت حاصلضرب دو عدد طبیعی مخالف 1 نوشت) حاصل همیشه به صورت حاصل ضرب اعداد اول خواهد بود.
سوم اینکه حاصل ضرب اعداد اول بدست آمده در تجزیه یک عدد، یک مجموعه منحصر به فرد از اعداد اول است یعنی نمی توان مجموعه اعداد اول دیگری را پیدا کرد که با ضرب اعداد اول آن مجموعه در هم، به آن عدد رسید.
چهارم اینکه چون نتیجه تجزیه عدد، به حاصل ضرب عامل ها بستگی ندارد پس نیازی نیست که عامل های عدد را بدست آوریم.
نکته: با توجه به نتیجه بالا دیگر برای تجزیه یک عدد، عامل های آن را نمی نویسیم(مگر اینکه از ما خواسته باشند) و برای تجزیه عدد، اولین دو عددی که به ذهنمان رسید و ضربشان برابر با آن عدد است را می نویسیم.
مثال 2 (تجزیه عدد)
عدد ۴۲۰۰۰ را تجزیه کنید
جواب: کدام دو عدد است که ضرب آن ها ۴۲۰۰۰ می شود؟ اولین دو عددی که به ذهنتان رسید را بنویسید
حاصل ضرب کدام دو عدد 42 می شود؟
حاصل ضرب کدام دو عدد 1000 می شود؟
اولین دو عددی که به ذهنتان رسید را بنویسید و این کار را برای هر عدد جدید، دوباره تکرار کنید تا به اعداد اول برسید
پس تجزیه عدد 42000 به صورت حاصلضرب، چهار بار عدد 2، یکبار عدد 3، سه بار عدد 5 و یکبار هم عدد 7 می شود.
اگر با اعداد توان دار آشنا باشید می توانید
را به صورت
بنویسید
نکته مهم: هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 که عدد اول نباشد را می توان، به حاصل ضرب عامل های اول تجزیه کرد.
از روش های تجزیه می توان به تجزیه به روش نمودار درختی و تجزیه به روش نمودار ستونی اشاره کرد که در مطالب ارسالی بعدی به آن خواهیم پرداخت.
عامل های اعداد 1 تا 100
| عدد | عامل ها (Factor) | عدد اول است یا عدد مرکب |
| 1 | 1 | نه عدد اول است و نه عدد مرکب |
| 2 | 1, 2 | عدد اول |
| 3 | 1, 3 | عدد اول |
| 4 | 1, 2, 4 | عدد مرکب |
| 5 | 1, 5 | عدد اول |
| 6 | 1, 2, 3, 6 | عدد مرکب |
| 7 | 1, 7 | عدد اول |
| 8 | 1, 2, 4, 8 | عدد مرکب |
| 9 | 1, 3, 9 | عدد مرکب |
| 10 | 1, 2, 5, 10 | عدد مرکب |
| 11 | 1, 11 | عدد اول |
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | عدد مرکب |
| 13 | 1, 13 | عدد اول |
| 14 | 1, 2, 7, 14 | عدد مرکب |
| 15 | 1, 3, 5, 15 | عدد مرکب |
| 16 | 1, 2, 4, 8, 16 | عدد مرکب |
| 17 | 1, 17 | عدد اول |
| 18 | 1, 2, 3, 6, 9, 18 | عدد مرکب |
| 19 | 1, 19 | عدد اول |
| 20 | 1, 2, 4, 5, 10, 20 | عدد مرکب |
| 21 | 1, 3, 7, 21 | عدد مرکب |
| 22 | 1, 2, 11, 22 | عدد مرکب |
| 23 | 1, 23 | عدد اول |
| 24 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 | عدد مرکب |
| 25 | 1, 5, 25 | عدد مرکب |
| 26 | 1, 2, 13, 26 | عدد مرکب |
| 27 | 1, 3, 9, 27 | عدد مرکب |
| 28 | 1, 2, 4, 7, 14, 28 | عدد مرکب |
| 29 | 1, 29 | عدد اول |
| 30 | 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 | عدد مرکب |
| 31 | 1, 31 | عدد اول |
| 32 | 1, 2, 4, 8, 16, 32 | عدد مرکب |
| 33 | 1, 3, 11, 33 | عدد مرکب |
| 34 | 1, 2, 17, 34 | عدد مرکب |
| 35 | 1, 5, 7, 35 | عدد مرکب |
| 36 | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 | عدد مرکب |
| 37 | 1, 37 | عدد اول |
| 38 | 1, 2, 19, 38 | عدد مرکب |
| 39 | 1, 3, 13, 39 | عدد مرکب |
| 40 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 | عدد مرکب |
| 41 | 1, 41 | عدد اول |
| 42 | 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 | عدد مرکب |
| 43 | 1, 43 | عدد اول |
| 44 | 1, 2, 4, 11, 22, 44 | عدد مرکب |
| 45 | 1, 3, 5, 9, 15, 45 | عدد مرکب |
| 46 | 1, 2, 23, 46 | عدد مرکب |
| 47 | 1, 47 | عدد اول |
| 48 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 | عدد مرکب |
| 49 | 1, 7, 49 | عدد مرکب |
| 50 | 1, 2, 5, 10, 25, 50 | عدد مرکب |
| 51 | 1, 3, 17, 51 | عدد مرکب |
| 52 | 1, 2, 4, 13, 26, 52 | عدد مرکب |
| 53 | 1, 53 | عدد اول |
| 54 | 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 | عدد مرکب |
| 55 | 1, 5, 11, 55 | عدد مرکب |
| 56 | 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56 | عدد مرکب |
| 57 | 1, 3, 19, 57 | عدد مرکب |
| 58 | 1, 2, 29, 58 | عدد مرکب |
| 59 | 1, 59 | عدد اول |
| 60 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 | عدد مرکب |
| 61 | 1, 61 | عدد اول |
| 62 | 1, 2, 31, 62 | عدد مرکب |
| 63 | 1, 3, 7, 9, 21, 63 | عدد مرکب |
| 64 | 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 | عدد مرکب |
| 65 | 1, 5, 13, 65 | عدد مرکب |
| 66 | 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66 | عدد مرکب |
| 67 | 1, 67 | عدد اول |
| 68 | 1, 2, 4, 17, 34, 68 | عدد مرکب |
| 69 | 1, 3, 23, 69 | عدد مرکب |
| 70 | 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70 | عدد مرکب |
| 71 | 1, 71 | عدد اول |
| 72 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 | عدد مرکب |
| 73 | 1, 73 | عدد اول |
| 74 | 1, 2, 37, 74 | عدد مرکب |
| 75 | 1, 3, 5, 15, 25, 75 | عدد مرکب |
| 76 | 1, 2, 4, 19, 38, 76 | عدد مرکب |
| 77 | 1, 7, 11, 77 | عدد مرکب |
| 78 | 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78 | عدد مرکب |
| 79 | 1, 79 | عدد اول |
| 80 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80 | عدد مرکب |
| 81 | 1, 3, 9, 27, 81 | عدد مرکب |
| 82 | 1, 2, 41, 82 | عدد مرکب |
| 83 | 1, 83 | عدد اول |
| 84 | 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84 | عدد مرکب |
| 85 | 1, 5, 17, 85 | عدد مرکب |
| 86 | 1, 2, 43, 86 | عدد مرکب |
| 87 | 1, 3, 29, 87 | عدد مرکب |
| 88 | 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88 | عدد مرکب |
| 89 | 1, 89 | عدد اول |
| 90 | 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90 | عدد مرکب |
| 91 | 1, 7, 13, 91 | عدد مرکب |
| 92 | 1, 2, 4, 23, 46, 92 | عدد مرکب |
| 93 | 1, 3, 31, 93 | عدد مرکب |
| 94 | 1, 2, 47, 94 | عدد مرکب |
| 95 | 1, 5, 19, 95 | عدد مرکب |
| 96 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96 | عدد مرکب |
| 97 | 1, 97 | عدد اول |
| 98 | 1, 2, 7, 14, 49, 98 | عدد مرکب |
| 99 | 1, 3, 9, 11, 33, 99 | عدد مرکب |
| 100 | 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 | عدد مرکب |
با توجه به جدول بالا، عددهای اول چه ویژگی دارند؟
لینک کوتاه این مطلب: https://tadris.dabidi.ir/y1lh
عامل های اعداد و تجزیه عدد به عوامل اول آن
