تعریف و تشخیص اعداد اول به همراه لیست 1000 عدد اول نخست

تعریف و تشخیص اعداد اول به همراه لیست 1000 عدد اول نخست | دانلود فهرست 100008 عدد اول نخست | عدد اول، عددی است که فقط دو شمارنده داشته باشد

فهرست محتوا

1. تعریف عدد اول:
2. بررسی عدد اول بودن یا نبودن اعداد
3. آیا می توان الگویی برای اول نبودن یک عدد پیدا کرد؟!
   1. مثال:
4. تشخیص عدد اول بودن یا اول نبودن یک عدد
5. فهرست ۱۰۰۰ عدد اول
6. دانلود لیست 100008 عدد اول نخست

تعریف عدد اول:

اعداد اول به اعداد طبیعی گفته می شوند که تنها به 1 و خود آن عدد دقیقاً قابل تقسیم یا بخش پذیر هستند یعنی مقسوم علیه های عدد اول، یک و خودش است(اعداد اول، اعدادی هستند که فقط دو شمارنده داشته باشند).

تعریف بخش پذیری: اگر حاصل تقسیم یک عدد بر عدد دیگر، عددی صحیح باشد و باقیمانده تقسیم برابر با صفر شود اصطلاحاً می گوییم که عدد اولی بر عدد دومی بخش پذیر است.

بررسی عدد اول بودن یا نبودن اعداد

مجموعه اعداد طبیعی را با N نمایش می دهند که حرف اول کلمه Natural است

نکته مهم: این را به خاطر داشته باشید که عدد 1 عدد اول نیست(چرا؟).

بنابراین با توجه به مجموعه اعداد طبیعی و اینکه 1 عدد اول نیست، مجموعه زیر را داریم که باید اول بودن یا نبودن اعداد موجود در آن را بررسی کنیم

نکته: تمام اعداد طبیعی بر 1 بخش پذیر هستند و عدد 1 مقسوم علیه همه اعداد طبیعی است.

بررسی عدد اول بودن یا نبودن اعداد مجموعه

عدد 2 بر 1 و 2 بخش پذیر است پس نتیجه 1 و خود عدد است بنابراین 2 عددی اول است(عدد 1 و 2 مقسوم علیه 2 می باشند)

عدد 3 بر 1 و 3 بخش پذیر است پس نتیجه 1 و خود عدد است بنابراین 3 عددی اول است

عدد 4 بر 1 و 2 و 4 بخش پذیر است که در نتیجه بر عددی غیر از 1 و خودش بخش پذیر است  پس 4 عددی اول نیست(عدد 1 و  2 و 4 مقسوم علیه 4 می باشند)

عدد 5 بر 1 و 5 بخش پذیر است پس نتیجه 1 و خود عدد است بنابراین 5 عددی اول است

عدد 6 بر 1 و 2 و3 و 6 بخش پذیر است که در نتیجه بر اعدادی غیر از 1 و خودش بخش پذیر است پس 6 عددی اول نیست

عدد 7 بر 1 و 7 بخش پذیر است پس نتیجه 1 و خود عدد است بنابراین 7 عددی اول است

عدد 8 بر 1 و 2 و 4 و 8 بخش پذیر است که در نتیجه بر اعدادی غیر از 1 و خودش بخش پذیر است پس 8 عددی اول نیست

عدد 9 بر 1 و 3 و 9 بخش پذیر است که در نتیجه بر عددی غیر از 1 و خودش بخش پذیر است پس 9 عددی اول نیست

عدد 10 بر 1 و 2 و 5 و 10 بخش پذیر است که در نتیجه بر اعدادی غیر از 1 و خودش بخش پذیر است پس 10 عددی اول نیست

عدد 11 بر 1 و 11 بخش پذیر است پس نتیجه 1 و خود عدد است بنابراین 11 عددی اول است

عدد 12 بر 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 12 بخش پذیر است که در نتیجه بر اعدادی غیر از 1 و خودش بخش پذیر است پس 12 عددی اول نیست

عدد 13 بر 1 و 13 بخش پذیر است پس نتیجه 1 و خود عدد است بنابراین 13 عددی اول است

عدد 14 بر 1 و 2 و 7 و 14 بخش پذیر است که در نتیجه بر اعدادی غیر از 1 و خودش بخش پذیر است پس 14 عددی اول نیست

عدد 15 بر 1 و 3 و 5 و 15 بخش پذیر است که در نتیجه بر اعدادی غیر از 1 و خودش بخش پذیر است پس 15 عددی اول نیست

عدد 16 بر 1 و 2 و 4 و 8 و 16 بخش پذیر است که در نتیجه بر اعدادی غیر از 1 و خودش بخش پذیر است پس 16 عددی اول نیست

عدد 17 بر 1 و 17 بخش پذیر است پس نتیجه 1 و خود عدد است بنابراین 17 عددی اول است

عدد 18 بر 1 و 2 و 3 و 6 و 9 و 18 بخش پذیر است که در نتیجه بر اعدادی غیر از 1 و خودش بخش پذیر است پس 18 عددی اول نیست

عدد 19 بر 1 و 19 بخش پذیر است پس نتیجه 1 و خود عدد است بنابراین 19 عددی اول است

عدد 20 بر 1 و 2 و 4 و 5 و 10 و 20 بخش پذیر است که در نتیجه بر اعدادی غیر از 1 و خودش بخش پذیر است پس 20 عددی اول نیست

همان طور که مشاهده کردید اعدادی که  بر عددی غیر از 1 و خود آن عدد بخش پذیر هستند عدد اول نمی باشند؛ پس برای فهمیدن این که عددی اول نیست تنها کافی است یک عددی غیر از عدد 1 و خودش پیدا کنیم که بر آن بخش پذیر باشد.

عدد 21 بر 3 بخش پذیر است پس 21 عددی اول نیست(عدد 21 بر 1 و 3 و 7 و 21 بخش پذیر است ولی این اعداد را ننوشتیم چون همان طور که گفتیم این که به عددی غیر از 1 و خودش یعنی بر 3 بخش پذیر است کافیست تا ما متوجه شویم که این عدد، عددی اول نیست)

عدد 22 بر 2 بخش پذیر است پس 22 عددی اول نیست

عدد 23 تنها بر 1 و 23 بخش پذیر است پس 23 عددی اول است

عدد 24 بر 2 بخش پذیر است پس 24 عددی اول نیست

عدد 25 بر 5 بخش پذیر است پس 25 عددی اول نیست

عدد 26 بر 2 بخش پذیر است پس 26 عددی اول نیست

عدد 27 بر 3 بخش پذیر است پس 27 عددی اول نیست

عدد 28 بر 2 بخش پذیر است پس 28 عددی اول نیست

عدد 29 تنها بر 1 و 29 بخش پذیر است پس 29 عددی اول است

عدد 30 بر 2 بخش پذیر است پس 30 عددی اول نیست

عدد 31 تنها بر 1 و 31 بخش پذیر است پس 31 عددی اول است

به نتایج بالا نگاه کنید

آیا می توان الگویی برای اول نبودن یک عدد پیدا کرد؟!

22، 24، 26، 28، 30 بر 2 بخش پذیر هستند همین طور اعداد 20، 18، 16، 14، 12، 10، 8، … بر 2 بخش پذیر هستند.

همان طور که نتایج نشان می دهد این اعداد اول نیستند آیا این نتیجه همیشه برقرار است؟! یعنی هر عددی که بر 2 بخش پذیر باشد عددی اول نیست!

دوباره به مجموعه نگاه کنید

اعدادی که  بر 2 بخش پذیر هستند را می نویسیم

در واقع این اعداد مضرب 2 هستند

همان طور که مشخص است این مجموعه، مجموعه اعداد زوج است

حالا بر می گردیم به سوال قبل، اینکه “هر عددی که بر 2 بخش پذیر باشد عددی اول نیست!” را به صورت “هر عددی که زوج باشد عددی اول نیست!” می نویسیم؛ آیا این گزاره درست است؟!

خیر؛ این گزاره همواره برقرار نیست چون عدد زوج 2 بر 2 بخش پذیر می باشد ولی 2 عددی اول است

نکته: تنها عدد زوجی که عدد اول است عدد 2 می باشد

نتیجه: به غیر از عدد 2 سایر اعداد زوج، عدد اول نیستند؛ به عبارت دیگر اگر عددی زوج باشد و نیز آن عدد 2 نباشد نتیجه می گیریم که آن عدد، عدد اول نیست.

عدد زوج 32 بر 2 بخش پذیر است پس 32 عددی اول نیست و همچنین اعداد زوج 34، 36، 38، 40، 42 و … عدد اول نیستند(چون تنها عدد زوجی که عدد اول است عدد 2)

عدد 33 بر 3 بخش پذیر است پس 33 عددی اول نیست

اگر دقت کنید می بینید که هر عددی که بر 3 بخش پذیر بوده به غیر از خود عدد 3، عدد اول نیست(مثل اعدادی که بر 2 بخش پذیر هستند به جزء خود عدد 2)

اعدادی که  بر 3 بخش پذیر هستند  3، 6، 9، 12، 15، 18، 21، 24، 27، 30، 33، 36، 39، 42، … که 3 عدد اول است و سایر اعداد 6، 9، 12، 15، 18، 21، 24، 27، 30، 33، 36، 39، 42، … عدد اول نیستند

عدد 35 بر 5 بخش پذیر است پس 35 عددی اول نیست

همچنین می بینیم که هر عددی که بر 5 بخش پذیر است به غیر از خود عدد 5، عدد اول نیست

اعدادی که  بر 5 بخش پذیر هستند 5، 10، 15، 20، 25، 30، 35، 40، 45، 50، 55، … که 5 عدد اول است و سایر اعداد 10، 15، 20، 25، 30، 35، 40، 45، 50، 55، … عدد اول نیستند

اعدادی که  بر 7 بخش پذیر هستند 7، 14 ،21، 28، 35، 42، 49، 56، 63، 70، 77، …

هر عددی که بر 7 بخش پذیر است به غیر از خود عدد 7، عدد اول نیست

اعدادی که  بر 11 بخش پذیر هستند 11، 22، 33، 44، 55، 66، 77، 88، 99، 121، …

هر عددی که بر 11 بخش پذیر است به غیر از خود عدد 11، عدد اول نیست

اعدادی که  بر 13 بخش پذیر هستند 13، 26، 39، 52، 65، 78، …

هر عددی که بر 13 بخش پذیر است به غیر از خود عدد 13، عدد اول نیست

این موضوع برای سایر اعداد اولی که تا حالا بدست آوردیم تکرار می شود

عدد 37 تنها بر 1 و 37 بخش پذیر است پس 37 عددی اول است

عدد 39 بر 3 بخش پذیر است پس 39 عددی اول نیست

عدد 41 تنها بر 1 و 41 بخش پذیر است پس 41 عددی اول است

اعداد اولی که تا اینجا بدست آوردیم

می توان با بررسی بخش پذیری اعداد بر اعداد اول 2 و ۳ و ۵ و ۷ و 11 و 13 و … عدد اول بودن یا نیودن آن عدد را مشخص کرد.

مثال:

عدد اول بودن یا نبودن اعداد 1394، 1395، 1396، 1397، 1398، 1399، 1400 را بررسی کنید.

جواب: خیلی راحت در مورد اعداد 1394، 1396،  1398، 1400 با توجه به اینکه عدد زوج هستند(بر 2 بخش پذیرند) نتیجه می گیریم که عدد اول نیستند.

عدد 1395 بر 5 بخشپذیر است(چه اعدادی بر 5 بخش پذیر هستند؟) چون حاصل تقسیم عددی صحیح مثبت بوده(عدد 279) و باقیمانده تقسیم نیز صفر است پس عدد 1395 عدد اول نیست

عدد 1397

عدد 1397 بر 11 بخشپذیر است چون حاصل تقسیم عددی صحیح مثبت بوده(عدد 127) و باقیمانده تقسیم نیز صفر می شود پس عدد 1397 عدد اول نیست

توجه داشته باشید که برای بخش پذیر بودن باید حاصل تقسیم، یک عدد صحیح باشد چون حاصل تقسیم عدد 1397 بر 2، 3، 5، 7 عدد اعشاری شده پس عدد 1397 بر 2، 3، 5، 7 بخشپذیر نبود

عدد 1399

عدد 1399 تنها بر 1399 بخش پذیر است که اگر قرار باشد واقعاً تقسیم های بالا را انجام دهیم باید 222 بار عمل تقسیم را تکرار کنیم که نشان می دهد که این روش برای اعداد بزرگ روش نامناسبی است

آیا واقعاً لازم است که تمام این تقسیم ها را تا رسیدن به عدد 1399 انجام دهیم؟!

خیر؛ در حقیقت تنها کافی است که 2 تا تقسیم دیگر را برای رسیدن به نتیجه که اول بودن این عدد است انجام دهیم(چرا؟!)

مربع عدد 41 برابر است با ۱۶۸۱ و این همان دلیلی است که نیاز نیست دیگر به این تقسیم ادامه دهیم یعنی وقتی مربع عدد اول، از عدد مورد نظر بزرگتر شود ما دیگر تقسیم بر عددهای اول را ادامه نمی دهیم

عدد 1399 به جز خودش به هیچ یک از این اعداد اول بخش‌پذیر نیست پس عدد 1399 عدد اول است

تشخیص عدد اول بودن یا اول نبودن یک عدد

برای تشخیص این که یک عدد، عدد اول است یا نه، کافی است آن عدد را بر اعداد اول کوچکتر از جذرش تقسیم کنیم که اگر بر هیچ یک از آن ها بخش پذیر نبود، عدد اول است و در غیر این صورت عدد اول نیست.

مثال: عدد 1399 را دوباره در نظر می گیریم

جواب: جذر 1399 تقریباً 37.40 (مقدار دقیق جذر اهمیتی ندارد) یعنی ما باید بخش پذیری عدد 1399 را بر اعداد اولی که از 37.40 کوچکتر هستند مورد بررسی قرار دهیم بعنی اعداد زیر

عدد اول بعد از 37، عدد 41 است پس جذر 1399 بین اعداد اول 37 و 41 قرار دارد

البته وقتی از جذر استفاده می کنیم نیازی نیست که ما عدد اول بعد از 37 را بدانیم تنها باید اعداد اولی که کوچکتر از 37.40 هستند را برای بخش پذیری بررسی کنیم ولی برای در نظر گرفتن مربع عدد اول لازم است که ما عدد اول بعد از 37 را بدانیم

می توان به جای جذر، مربع عدد را در نظر گرفت

که همان طور که قبلاً بررسی کردیم عدد 1399 بر هیچکدام از اعداد اول

بخشپذیر نیست بنابراین 1399 عدد اول است.

نکته: به هر عدد طبیعی مخالف 1 که عدد اول نباشد، عدد مرکب می گویند.

نکته: عدد 1 نه عدد اول است و نه عدد مرکب.

نکته: صفر بر همه اعداد صحیح بخش‌پذیر است.

نکته: هر عدد صحیحی بر 1 بخش‌پذیر است.

اعداد اول از مجموعه نامتناهی اعداد طبیعی هستند که در نتیجه خود اعداد اول نیز یک مجموعه نامتناهی را تشکیل می دهند.

یک روش برای یافتن اعداد اول، روش غربال است که برای تعیین اعداد اول در محدوده ای از اعداد(یک بازه مشخص) استفاده می شود.

فهرست ۱۰۰۰ عدد اول

دانلود لیست 100008 عدد اول نخست

فایل فشرده به فرمت zip است(داخل این فایل فشرده 2 فایل است، یکی با فرمت متنی txt و دیگری با فرمت html)

Lists of 100,008 Primes

لینک کوتاه این مطلب: https://tadris.dabidi.ir/prime

تعریف و تشخیص اعداد اول به همراه لیست

درباره نویسنده

admin

[email protected]

https://tadris.dabidi.ir/

Happy

4 9 %

Sad

2 4 %

Excited

33 72 %

Sleepy

3 7 %

Angry

3 7 %

Surprise

1 2 %